Rechenregeln
Addition
Man addiert die Realteile und die Imaginärteile getrennt:
[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ]
Subtraktion
-
Der Realteil und der Imaginärteil wird getrennt voneinander sutrahiert: (a - c) + (b - d)i.
Multiplikation
Man nutzt die Distributivgesetz und die Eigenschaft ( i^2 = -1 ):
[ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i ]
Division
Um ( \frac{z_1}{z_2} ) zu berechnen, multipliziert man Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners, um den Nenner reell zu machen:
[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d)i}{c^2 + d^2} ]
Komplexe Konjugation
Die komplexe Konjugation einer Zahl ( z = a + bi ) ist ( \overline{z} = a - bi ).
Was sind komplexe Zahlen?
Komplexe Zahlen sind Zahlen, die aus einem Realteil und einem Imaginärteil bestehen und in der Form ( z = a + bi ) geschrieben werden, wobei ( a ) und ( b ) reelle Zahlen sind und ( i ) die imaginäre Einheit ist, mit der Eigenschaft ( i^2 = -1 ).
Was ist die imaginäre Einheit ( i )?
Die imaginäre Einheit ( i ) ist definiert durch die Eigenschaft ( i^2 = -1 ). Sie ermöglicht die Erweiterung der reellen Zahlen um komplexe Zahlen.
Was ist die Polarform komplexer Zahlen?
Jede komplexe Zahl kann auch in der Polarform geschrieben werden:
[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ]
wobei ( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ) der Betrag und ( \theta = \arg(z) ) der Winkel im Bogenmaß ist.